1 год назад
Нету коментариев

Чем же отличается теория тяготения Эйнштейна от теории Ньютона? Начнем с простейшего случая. Рас­смотрим сферическую невращающуюся планету и опре­делим ускорение тела, свободно падающего на ее по­верхности. Массу планеты обозначим через М. Радиус планеты определяется геодезическим измерением на ее поверхности (например, если измерить длину большого круга на поверхности и разделить ее на 2п). Обозначим вычисленный таким образом радиус через R.

По теории тяготения Ньютона сила, с которой тело массы т притягивается на поверхности планеты к ее центру, равна Fн= GMm/R2, где G — постоянная тяго­тения Ньютона. Ускорение свободного падения на по­верхности планеты определяется как ан = Fн/m = = GM/R2.

Теория Эйнштейна приводит к другим формулам. Согласно этой теории

F_001

где с — скорость света.

Формулы Эйнштейна отличаются от ньютоновских наличием корня, стоящего в знаменателе. В этих выра­жениях впервые появляется загадочная величина 2GM/c2, долго не дававшая покоя ученым и только на рубеже 50—60-х годов нашего века правильно понятая и истолкованная. Величина эта получила название гра­витационного радиуса: rg =2GM/c2. Когда радиус не­бесного тела R много больше, чем rg, формулы теории Ньютона для F и а совпадают с эйнштейновскими, ибо подкоренное выражение в последних практически равно единице. Но с приближением R к rg различия чрезвы­чайно нарастают.

Величина гравитационного радиуса rg, как видно из самого определения, зависит только от массы небесного тела, и она очень мала даже для гигантских масс. Так, для массы Солнца rg=3 км, для массы Земли rg = 1 см. Радиус небесных тел, следовательно, много боль­ше их гравитационного радиуса (радиус Солнца 700 000 км, радиус Земли 6400 км). Таким образом, ко­рень в знаменателе в формулах (1) очень близок к еди­нице при исследовании тяготения на поверхности небес­ных тел и вне их (в вакууме). Не удивительно, что от­личия теорий Ньютона и Эйнштейна в обычных услови­ях крайне малы.

Если же радиус R приближается к rg, то сила тя­готения, согласно Эйнштейну, стремится к бесконечно­сти. Прежде чем обсуждать, к каким следствиям это ведет, познакомимся с некоторыми другими выводами теории Эйнштейна.

Суть теории Эйнштейна заключается в том, что она неразрывно связала геометрические свойства простран­ства и течение времени с силами гравитации. Эти связи сложны и многообразны. Отметим пока лишь только два важных обстоятельства.

С одной стороны, согласно теории Эйнштейна время в сильном поле тяготения течет медленней с точки зре­ния далекого наблюдателя, чем время, измеряемое вда­ли от тяготеющих масс (где гравитация слаба), а имен­но, определяется формулой: п = t Корень1rg/R, где t — время вдали от тяготеющих масс (на бесконечности, как говорят физики), т — время, изхмеряемое на расстоя­нии R от центра тяготеющих масс. Здесь снова фигури­рует тот же самый корень, что и в выражениях (1), мы только записали его, явно использовав определение гра­витационного радиуса rg.

С другой стороны, в сильном поле тяготения геомет­рические свойства пространства описываются не евкли­довой, а римановой геометрией. Это означает, что при­вычные соотношения, например для связи между дли­ной окружности и ее радиусом, уже не применимы: l не равно 2пR. Соотношение между евклидовой и не евклидо­вой «пространственными» геометриями аналогично со­отношению между геометриями на плоскости и на ис­кривленной поверхности. Этой аналогией мы будем в дальнейшем пользоваться.

Так как геометрия в поле тяготения не евклидова, то необходимо уточнить, что же надо понимать под. величи­ной R в формулах теории Эйнштейна (1) и в формуле для т. Раньше мы под R обычно (см. сноску на стр. 6) подразумевали деленную на 2п длину окружности, опо­ясывающей небесное тело. Однако эта величина, вооб­ще говоря, не равна расстоянию от центра планеты до окружности (из-за «кривизны» пространства).

Использование именно длины окружности в качест­ве меры удаления от центра тяготеющих масс (а не самого расстояния от центра до окружности) имеет ряд преимуществ. Во-первых, для измерения R не надо при­ближаться к центру тяготеющих масс. Последнее весь­ма важно — например, можно измерить длину эквато­ра Земли, но было бы весьма сложно проникнуть в ее центр. Для Земли и нет никакой необходимости непо­средственно измерять расстояние до центра, ибо поле тяготения Земли невелико, и с большой точностью спра­ведлива геометрия Евклида, а длина экватора, делен­ная на 2п, равна расстоянию до центра. В сверхплот­ных звездах с сильным полем тяготения это, однако, не так: разница в «радиусах», определенных разными спо­собами, может быть весьма заметной. Более того, как мы увидим далее, в ряде случаев достигнуть центра тя­готения принципиально невозможно.

Во-вторых, формулы, когда используется деленная на 2п длина окружности, записываются особенно про­сто. И это не случайно — точки окружности расположены на одинаковом расстоянии от тяготеющего центра, следовательно, влияние тяготения на «искривление» пространства на ней одинаково. Если же непосредствен­но измерять расстояние от центра, то необходимо про­ходить области с разной силой тяготения, а значит, и «искривление» пространства будет разным, так что все соотношения усложнились бы.

Рассматриваемое нами поле тяготения вокруг сфери­ческого невращающегося тела получило название поля Шварцшильда по имени ученого, который сразу же после создания Эйнштейном своей теории решил ее уравнения для данного случая (сфера гравитационного радиуса rg носит название сферы Шварцшильда).

Вернемся теперь к вопросу о второй космической скорости.

Какую скорость, согласно уравнениям Эйнштейна, надо придать ракете, стартующей с поверхности плане­ты, чтобы она, поборов силы тяготения, улетела в кос­мос? Ответ оказался чрезвычайно прост. Здесь справед­лива та же формула, что и в ньютоновской теории. Зна­чит, вывод Лапласа о невозможности для света уйти от компактной тяготеющей массы подтвердился теорией тяготения Эйнштейна, согласно которой вторая косми­ческая скорость равна скорости света как раз на грави­тационном радиусе.

comments powered by HyperComments