3 роки тому
Немає коментарів

Sorry, this entry is only available in
Російська
На жаль, цей запис доступний тільки на
Російська.
К сожалению, эта запись доступна только на
Російська.

А. Математические доказательства

Вывод экстраполируемого расстояния

Здесь приводится вывод величины ηиспользуемой в гл. 7 (стр. 159). Рис. А.1 в общих чертах совпадает с рис. 7.3, на нем показано положение кольев в зави­симости от времени до и после наибольшего склонения. На рисунке отмечено положение кольев А и В в моменты t1 и t2 соответственно до и после момента наибольшего склонения, находящихся на расстояниях уА и уВ от положения ко­ла, соответствующего наибольшему склонению. Заметим, что расстояния уА и уВ нам не известны, и мы знаем только разность этих расстояний, равную 2р. Введем неизвестную постоянную к для описания параболы уравнением у = = kt2Примем также t1 = а — b и t2 = а + bТогда

уВ = kt22 к (а + b)1 = ка2 kb2 + 2kab(1)

уА = kt21 к (а — b)2 ка2 + кb2 – 1каb(2)

Вычитая одно выражение из другого, получаем уВ — уА 4kabно эта ве­личина равна также 2р, откуда

к р/2аb(3)

Аналогично

η = ED кb2(4)

Полное расстояние, которое надо отложить от середины между двумя колья­ми, G + ηравно А уВ)/2, для которого путем сложения (1) и (2) получаем к (а2 + b2). Используя уравнение (4), находим G = ка2.

Пусть а равно половине суток, тогда G будет равно расстоянию между поло­жением кола, отмечающего наибольшее склонение, и положением кольев, поста­вленных точно за полсуток до и после момента наибольшего склонения. Исклю­чая к с помощью уравнения (3), получаем

G = ка2 ар/(2b) = р(a/b)/2, η = кb2 = bр/(2а) = р(b/а)/2,

Положение вех в зависимости от времени до и после наибольшего склонения Луны

Положение вех в зависимости от времени до и после наибольшего склонения Луны

откуда

η = P2/(4G).

Итак, полное расстояние, которое надо отложить от середины между двумя кольями, равно G + (p2/4G), откуда следует, что расстояние, которое следует от­ложить от дальнего кола, составляет

G + (p2/4G р.

Экстраполяция по результатам наблюдений три ночи подряд

Экстраполяция по результатам наблюдений Луны три ночи подряд — это ме­тод, возможно, использовавшийся в Бретани (гл. 8). На рис. АЛ показаны поло­жения кольев С, А и В, поставленных за время 2а + t1, и t1, до момента наиболь­шего склонения и через 2а — t1 после этого момента. Расстояния уC, уA и уB  это расстояния, отделяющие указанные колья от места кола, соответствующего на­ибольшему склонению. Заметим, что расстояния эти нам не известны, и мы знаем только разделяющие перечисленные колья расстояния 2р и 2q.

Используя для описания параболы ту же постоянную кчто и при рассмотре­нии метода двух ночей, имеем

уA kt21,

уB к(2а — t1)2 = к(4а2 + t21  Aat1), уC = к(2а + t1)2 к(4а2 + t21 Aat1).

Путем вычитания получаем

2q = уC  уB = 8kat1откуда

q = 4kat1 и к = q/(4at1).

Из предыдущего доказательства в этом приложении мы знаем, что G = ка2Тогда

G = qa2/(4at1и t1/a q/(4G).

Но

уA = kt21=qt21/(4at1) = (q/4)(t1/a),

откуда

уA = q2/(16G).

В гл. 8 для обозначения расстояния, которое следует отложить от дальнего кола, вместо символа уА использовался символ η’. Следует указать, что эти обо­значения отличаются от тех, которыми пользовался в своих статьях профессор Том, поскольку в данной книге необходимо было избежать употребления одних и тех же символов для обозначения разных величин.

Нахождение «наилучшего» круга для метода экстраполяции, использовавшегося в Мерривейле

Искомый круг должен проходить через точку L, и линия ОМ должна быть каса­тельной к нему (рис. 7.14). Поскольку

OLG и ОМ 2GLM = Sqrt5G

Далее, NM/PN = LM/LO (из подобия треугольников) и, следовательно, NM PN х LM/IO = (SqrtG/2) х SqrtG/G = 5G/2.

В более общей форме, если выразить ОМ в долях r расстояния между двумя кольями, радиус «наилучшего» круга составит

NM (1 + 16r2)G/2.

В частном случае, когда r = 1/2, NM = 5G/2. Если r = 1, NM = 17G/2, а при r = 3/4 NM = 5G.

Б. Замечание относительно датировки

Даты в этой книге приводятся в календарных годах до н. э. Некоторые даты бы­ли определены с помощью астрономического метода Локьера, но большая их часть основывается на измерениях радиоуглеродным методом, опубликованных в различных книгах и журналах. Ни один из этих методов не дает абсолютно точных дат, поскольку в них всегда присутствуют неизбежные ошибки измере­ний. Существует, однако, важное различие между астрономическими и радиоу­глеродными датами — если ошибки сведены к минимуму, то астрономический метод дает истинную дату, но радиоуглеродный метод ее не дает и в этом слу­чае. Эти даты обычно публикуются как «радиоуглеродные возрасты» и не со­ответствуют истинным календарным. В данной книге радиоуглеродные даты переведены в календарные с помощью графика рис. Б.1.

Приблизительная калибровочная кривая для разноуглеродных датировок

Приблизительная калибровочная кривая для разноуглеродных датировок

Радиоуглеродный метод — это метод оценки возраста археологического образца путем измерения его радиоактивности. Полученная дата совершенно независима от каких бы то ни было археологических сопоставлений, а потому этот метод особенно ценен, когда традиционные методы датировки, такие, как перекрестное сравнение с уже датированными явлениями цивилизации, не могут быть применены. Он был разработан в 50-х годах нашего столетия в чикагском Институте ядерных исследований профессором Уиллардом Либби, который в 1960 г. получил за свое открытие Нобелевскую премию.

Радиоактивный углерод представляет собой разновидность обычного углеро­да и отличается от него только числом частиц в ядре атома. Ядро обычного углерода содержит шесть протонов и шесть нейтронов, поэтому его обозначают как углерод-12. В ядре радиоактивного углерода содержится шесть протонов и восемь нейтронов, и его часто называют углеродом-14. Химические свойства атомов определяются числом протонов, а не нейтронов, и поэтому оба атома углерода в химическом отношении ведут себя одинаково. По способу взаимо­действия с другими атомами при образовании органических соединений в жи­вом веществе они совершенно неразличимы. Однако они различаются по своим физическим свойствам не только потому, что ядро радиоактивного углерода на 17% тяжелее, но и потому, что оно неустойчиво и распадается на ядро атома азота-14 (семь протонов и семь нейтронов) и электрон.

Эти электроны выбрасываются словно маленькие пули, и с помощью чув­ствительного прибора их можно обнаружить. Определив частоту выбрасывания электронов, можно определить количество радиоактивного углерода в образце дерева, древесного угля или кости.

Всякое живое вещество содержит небольшое количество радиоактивного углерода в пропорции один его атом на каждый миллион миллионов атомов углерода-12. Радиоактивный углерод возникает в верхних слоях атмосферы, где атомы воздуха подвергаются постоянной бомбардировке приходящими из кос­моса высокоскоростными частицами (космическими лучами). Иногда эти ча­стицы сталкиваются с атомами атмосферы и выбивают из них нейтроны. Такие нейтроны в свою очередь могут сталкиваться с ядрами азота-14, что вызывает еще одну ядерную реакцию, в результате которой из ядра азота-14 выбрасы­вается протон и оно превращается в ядро радиоактивного углерода. Радиоак­тивный углерод полностью перемешивается с обычным углеродом и в конце концов попадает во всякое живое вещество, содержащее углерод, в той же нич­тожной пропорции — один атом радиоактивного углерода на миллион миллио­нов атомов углерода-12. До тех пор пока организм жив, химические реакции ды­хания, питания и т.д. обеспечивают постоянный уровень содержания радиоак­тивного углерода.

Однако, когда организм умирает, такое его взаимодействие с окружающей средой прекращается. Он перестает поглощать углерод, и находящийся в нем радиоактивный углерод постепенно распадается. Скорость его распада очень мала: половина всех атомов радиоактивного углерода превращается в атомы азота приблизительно через 5600 лет, три четверти — через 11 200 лет, семь во­сьмых — через 16 800 лет и так далее. Если измерить количество содержащегося в образце радиоактивного углерода, это даст возможность оценить время, про­шедшее с момента смерти организма.

Радиоуглеродные даты всегда обладают некоторой статистической погреш­ностью. Электроны испускаются случайно, и надо считать их много часов, прежде чем мы узнаем истинную скорость испускания. Чем дольше ведется счет, тем точнее получается дата, но это удорожает стоимость исследования, поскольку дольше находится в употреблении дорогое оборудование. Радиоуглеродные даты всегда сопровождаются указанием их статистической точности: например, 1560 +/- 30 г. до н.э. Это надо понимать следующим образом: имеется 50 шансов из 100, что искомая радиоуглеродная дата действительно лежит между 1590 и 1530 г. до н.э.

Когда для доисторических периодов Британии были получены первые ра­диоуглеродные даты, они, как об этом говорится в гл. 10, вызвали немалое не­доумение. Неолит и ранний бронзовый век оказались гораздо старше, чем это предполагалось по результатам археологических исследований. Но по мере по­лучения новых данных стало очевидно, что и эта хронология неверна. Радиоу­глеродные даты для египетских образцов не согласовывались с историческими данными, так как с несомненностью были слишком молоды. Чем старше был образец, тем больше становилось расхождение.

Теперь это расхождение устранено благодаря независимой калибровке ра­диоуглеродных данных. К счастью для археологии, в горах Уайт-Маунтинс (Ка­лифорния) существует вид дерева, сосна остистая, достигающая огромного воз­раста. Сотрудники Лаборатории исследований по древесным кольцам Универси­тета штата Аризона трудолюбиво проследили непрерывную последовательность годичных колец по стволам многих деревьев на 8000 лет назад. С точки зрения химических изменений древесина этих колец, собственно говоря, мертва и не по­лучает никакого нового углерода после того года, в который кольцо наросло. Возраст годичного кольца можно определить, просчитав его положение в срезе, и содержание в нем радиоактивного углерода обеспечивает данные для прямой калибровки метода.

Результаты этой калибровки были опубликованы профессором Гансом Суссом. Вплоть до 1500 г. до н.э. различия между календарными и радиоугле­родными датами невелики, и радиоуглеродный метод дает почти истинную да­ту. Но ранее 1500 г. до н.э. наблюдаются существенные отклонения, и для более ранних времен они больше. Для 2000 г. до н. э. ошибка составляет 500 лет, а для 3000 г. до н. э. 700 лет. Объясняются они тем, что в третьем тысячелетии до н. э. содержание радиоактивного углерода в атмосфере было выше, чем теперь. Во время первоначальной разработки радиоуглеродного метода датировки этот факт известен не был, и его автор исходил из допущения, что содержание ра­диоактивного углерода неизменно.

Для того чтобы найти календарную дату по радиоуглеродной, мы должны внести в последнюю поправку. Легче всего это сделать по кривой поправок, та­кой, как на рис. Б.1. Пунктирные линии показывают, что 2100 г. по радиоугле­родной датировке соответствует календарному 2700 г. до н.э. Эта кривая осно­вана на той, которую разработал Сусс, но для облегчения ее использования она упрощена путем сглаживания короткопериодических колебаний. Некоторая не­точность для книги вроде этой какой-либо важности не имеет, особенно если учитывать статистические ошибки, заложенные в самом радиоуглеродном мето­де, однако читателям следует помнить, что на рис. Б. 1 дана лишь приближенная кривая поправок.

В. Тригонометрические функции

В уравнениях (1) и (2) гл. 4 использованы тригонометрические символы sin и cos (сокращения от «синус» и «косинус»). Синус и косинус—это способы обозначе­ния величины угла. Во многих задачах они более удобны, чем градусы. Определение синуса и косинуса опирается на соотношение сторон прямоу­гольного треугольника. Если мы хотим найти синус какого-либо угла, нам надо начертить прямоугольный треугольник произвольных размеров, включающий нужный нам угол: синус этого угла равен частному от деления длины противо­лежащей стороны на длину гипотенузы. Так, на рис. 3.1

sin В b/aa sin С = с/а.

Косинус угла — это частное от деления длины прилежащей стороны на длину гипотенузы. Так, на рис. 3.1

cos В с/а, a cos С = b/а.

Синусы и косинусы удобнее всего брать из тригонометрических таблиц. Ча­ще всего встречаются следующие их значения:

sin 0° = 0,000 cos 0° = 1,000

sin 30° = 0,500 cos 30° = 0,866

sin 45° = 0,707 cos 45° = 0,707

sin 60° = 0,866 cos 60° = 0,500

sin 90° = 1,000 cos 90° = 0,000