Додатки
Російська
На жаль, цей запис доступний тільки на
Російська.
К сожалению, эта запись доступна только на
Російська.
А. Математические доказательства
Вывод экстраполируемого расстояния
Здесь приводится вывод величины η, используемой в гл. 7 (стр. 159). Рис. А.1 в общих чертах совпадает с рис. 7.3, на нем показано положение кольев в зависимости от времени до и после наибольшего склонения. На рисунке отмечено положение кольев А и В в моменты t1 и t2 соответственно до и после момента наибольшего склонения, находящихся на расстояниях уА и уВ от положения кола, соответствующего наибольшему склонению. Заметим, что расстояния уА и уВ нам не известны, и мы знаем только разность этих расстояний, равную 2р. Введем неизвестную постоянную к для описания параболы уравнением у = = kt2. Примем также t1 = а — b и t2 = а + b. Тогда
уВ = kt22 = к (а + b)1 = ка2 + kb2 + 2kab, (1)
уА = kt21 = к (а — b)2 = ка2 + кb2 – 1каb. (2)
Вычитая одно выражение из другого, получаем уВ — уА = 4kab, но эта величина равна также 2р, откуда
к = р/2аb. (3)
Аналогично
η = ED = кb2. (4)
Полное расстояние, которое надо отложить от середины между двумя кольями, G + η, равно (уА + уВ)/2, для которого путем сложения (1) и (2) получаем к (а2 + b2). Используя уравнение (4), находим G = ка2.
Пусть а равно половине суток, тогда G будет равно расстоянию между положением кола, отмечающего наибольшее склонение, и положением кольев, поставленных точно за полсуток до и после момента наибольшего склонения. Исключая к с помощью уравнения (3), получаем
G = ка2 = ар/(2b) = р(a/b)/2, η = кb2 = bр/(2а) = р(b/а)/2,

Положение вех в зависимости от времени до и после наибольшего склонения Луны
откуда
η = P2/(4G).
Итак, полное расстояние, которое надо отложить от середины между двумя кольями, равно G + (p2/4G), откуда следует, что расстояние, которое следует отложить от дальнего кола, составляет
G + (p2/4G) — р.
Экстраполяция по результатам наблюдений три ночи подряд
Экстраполяция по результатам наблюдений Луны три ночи подряд — это метод, возможно, использовавшийся в Бретани (гл. 8). На рис. АЛ показаны положения кольев С, А и В, поставленных за время 2а + t1, и t1, до момента наибольшего склонения и через 2а — t1 после этого момента. Расстояния уC, уA и уB — это расстояния, отделяющие указанные колья от места кола, соответствующего наибольшему склонению. Заметим, что расстояния эти нам не известны, и мы знаем только разделяющие перечисленные колья расстояния 2р и 2q.
Используя для описания параболы ту же постоянную к, что и при рассмотрении метода двух ночей, имеем
уA = kt21,
уB = к(2а — t1)2 = к(4а2 + t21 — Aat1), уC = к(2а + t1)2 = к(4а2 + t21 + Aat1).
Путем вычитания получаем
2q = уC — уB = 8kat1, откуда
q = 4kat1 и к = q/(4at1).
Из предыдущего доказательства в этом приложении мы знаем, что G = ка2. Тогда
G = qa2/(4at1) и t1/a = q/(4G).
Но
уA = kt21=qt21/(4at1) = (q/4)(t1/a),
откуда
уA = q2/(16G).
В гл. 8 для обозначения расстояния, которое следует отложить от дальнего кола, вместо символа уА использовался символ η’. Следует указать, что эти обозначения отличаются от тех, которыми пользовался в своих статьях профессор Том, поскольку в данной книге необходимо было избежать употребления одних и тех же символов для обозначения разных величин.
Нахождение «наилучшего» круга для метода экстраполяции, использовавшегося в Мерривейле
Искомый круг должен проходить через точку L, и линия ОМ должна быть касательной к нему (рис. 7.14). Поскольку
OL= G и ОМ = 2G, LM = Sqrt5G
Далее, NM/PN = LM/LO (из подобия треугольников) и, следовательно, NM = PN х LM/IO = (SqrtG/2) х SqrtG/G = 5G/2.
В более общей форме, если выразить ОМ в долях r расстояния между двумя кольями, радиус «наилучшего» круга составит
NM = (1 + 16r2)G/2.
В частном случае, когда r = 1/2, NM = 5G/2. Если r = 1, NM = 17G/2, а при r = 3/4 NM = 5G.
Б. Замечание относительно датировки
Даты в этой книге приводятся в календарных годах до н. э. Некоторые даты были определены с помощью астрономического метода Локьера, но большая их часть основывается на измерениях радиоуглеродным методом, опубликованных в различных книгах и журналах. Ни один из этих методов не дает абсолютно точных дат, поскольку в них всегда присутствуют неизбежные ошибки измерений. Существует, однако, важное различие между астрономическими и радиоуглеродными датами — если ошибки сведены к минимуму, то астрономический метод дает истинную дату, но радиоуглеродный метод ее не дает и в этом случае. Эти даты обычно публикуются как «радиоуглеродные возрасты» и не соответствуют истинным календарным. В данной книге радиоуглеродные даты переведены в календарные с помощью графика рис. Б.1.

Приблизительная калибровочная кривая для разноуглеродных датировок
Радиоуглеродный метод — это метод оценки возраста археологического образца путем измерения его радиоактивности. Полученная дата совершенно независима от каких бы то ни было археологических сопоставлений, а потому этот метод особенно ценен, когда традиционные методы датировки, такие, как перекрестное сравнение с уже датированными явлениями цивилизации, не могут быть применены. Он был разработан в 50-х годах нашего столетия в чикагском Институте ядерных исследований профессором Уиллардом Либби, который в 1960 г. получил за свое открытие Нобелевскую премию.
Радиоактивный углерод представляет собой разновидность обычного углерода и отличается от него только числом частиц в ядре атома. Ядро обычного углерода содержит шесть протонов и шесть нейтронов, поэтому его обозначают как углерод-12. В ядре радиоактивного углерода содержится шесть протонов и восемь нейтронов, и его часто называют углеродом-14. Химические свойства атомов определяются числом протонов, а не нейтронов, и поэтому оба атома углерода в химическом отношении ведут себя одинаково. По способу взаимодействия с другими атомами при образовании органических соединений в живом веществе они совершенно неразличимы. Однако они различаются по своим физическим свойствам не только потому, что ядро радиоактивного углерода на 17% тяжелее, но и потому, что оно неустойчиво и распадается на ядро атома азота-14 (семь протонов и семь нейтронов) и электрон.
Эти электроны выбрасываются словно маленькие пули, и с помощью чувствительного прибора их можно обнаружить. Определив частоту выбрасывания электронов, можно определить количество радиоактивного углерода в образце дерева, древесного угля или кости.
Всякое живое вещество содержит небольшое количество радиоактивного углерода в пропорции один его атом на каждый миллион миллионов атомов углерода-12. Радиоактивный углерод возникает в верхних слоях атмосферы, где атомы воздуха подвергаются постоянной бомбардировке приходящими из космоса высокоскоростными частицами (космическими лучами). Иногда эти частицы сталкиваются с атомами атмосферы и выбивают из них нейтроны. Такие нейтроны в свою очередь могут сталкиваться с ядрами азота-14, что вызывает еще одну ядерную реакцию, в результате которой из ядра азота-14 выбрасывается протон и оно превращается в ядро радиоактивного углерода. Радиоактивный углерод полностью перемешивается с обычным углеродом и в конце концов попадает во всякое живое вещество, содержащее углерод, в той же ничтожной пропорции — один атом радиоактивного углерода на миллион миллионов атомов углерода-12. До тех пор пока организм жив, химические реакции дыхания, питания и т.д. обеспечивают постоянный уровень содержания радиоактивного углерода.
Однако, когда организм умирает, такое его взаимодействие с окружающей средой прекращается. Он перестает поглощать углерод, и находящийся в нем радиоактивный углерод постепенно распадается. Скорость его распада очень мала: половина всех атомов радиоактивного углерода превращается в атомы азота приблизительно через 5600 лет, три четверти — через 11 200 лет, семь восьмых — через 16 800 лет и так далее. Если измерить количество содержащегося в образце радиоактивного углерода, это даст возможность оценить время, прошедшее с момента смерти организма.
Радиоуглеродные даты всегда обладают некоторой статистической погрешностью. Электроны испускаются случайно, и надо считать их много часов, прежде чем мы узнаем истинную скорость испускания. Чем дольше ведется счет, тем точнее получается дата, но это удорожает стоимость исследования, поскольку дольше находится в употреблении дорогое оборудование. Радиоуглеродные даты всегда сопровождаются указанием их статистической точности: например, 1560 +/- 30 г. до н.э. Это надо понимать следующим образом: имеется 50 шансов из 100, что искомая радиоуглеродная дата действительно лежит между 1590 и 1530 г. до н.э.
Когда для доисторических периодов Британии были получены первые радиоуглеродные даты, они, как об этом говорится в гл. 10, вызвали немалое недоумение. Неолит и ранний бронзовый век оказались гораздо старше, чем это предполагалось по результатам археологических исследований. Но по мере получения новых данных стало очевидно, что и эта хронология неверна. Радиоуглеродные даты для египетских образцов не согласовывались с историческими данными, так как с несомненностью были слишком молоды. Чем старше был образец, тем больше становилось расхождение.
Теперь это расхождение устранено благодаря независимой калибровке радиоуглеродных данных. К счастью для археологии, в горах Уайт-Маунтинс (Калифорния) существует вид дерева, сосна остистая, достигающая огромного возраста. Сотрудники Лаборатории исследований по древесным кольцам Университета штата Аризона трудолюбиво проследили непрерывную последовательность годичных колец по стволам многих деревьев на 8000 лет назад. С точки зрения химических изменений древесина этих колец, собственно говоря, мертва и не получает никакого нового углерода после того года, в который кольцо наросло. Возраст годичного кольца можно определить, просчитав его положение в срезе, и содержание в нем радиоактивного углерода обеспечивает данные для прямой калибровки метода.
Результаты этой калибровки были опубликованы профессором Гансом Суссом. Вплоть до 1500 г. до н.э. различия между календарными и радиоуглеродными датами невелики, и радиоуглеродный метод дает почти истинную дату. Но ранее 1500 г. до н.э. наблюдаются существенные отклонения, и для более ранних времен они больше. Для 2000 г. до н. э. ошибка составляет 500 лет, а для 3000 г. до н. э. 700 лет. Объясняются они тем, что в третьем тысячелетии до н. э. содержание радиоактивного углерода в атмосфере было выше, чем теперь. Во время первоначальной разработки радиоуглеродного метода датировки этот факт известен не был, и его автор исходил из допущения, что содержание радиоактивного углерода неизменно.
Для того чтобы найти календарную дату по радиоуглеродной, мы должны внести в последнюю поправку. Легче всего это сделать по кривой поправок, такой, как на рис. Б.1. Пунктирные линии показывают, что 2100 г. по радиоуглеродной датировке соответствует календарному 2700 г. до н.э. Эта кривая основана на той, которую разработал Сусс, но для облегчения ее использования она упрощена путем сглаживания короткопериодических колебаний. Некоторая неточность для книги вроде этой какой-либо важности не имеет, особенно если учитывать статистические ошибки, заложенные в самом радиоуглеродном методе, однако читателям следует помнить, что на рис. Б. 1 дана лишь приближенная кривая поправок.
В. Тригонометрические функции
В уравнениях (1) и (2) гл. 4 использованы тригонометрические символы sin и cos (сокращения от «синус» и «косинус»). Синус и косинус—это способы обозначения величины угла. Во многих задачах они более удобны, чем градусы. Определение синуса и косинуса опирается на соотношение сторон прямоугольного треугольника. Если мы хотим найти синус какого-либо угла, нам надо начертить прямоугольный треугольник произвольных размеров, включающий нужный нам угол: синус этого угла равен частному от деления длины противолежащей стороны на длину гипотенузы. Так, на рис. 3.1
sin В = b/a, a sin С = с/а.
Косинус угла — это частное от деления длины прилежащей стороны на длину гипотенузы. Так, на рис. 3.1
cos В = с/а, a cos С = b/а.
Синусы и косинусы удобнее всего брать из тригонометрических таблиц. Чаще всего встречаются следующие их значения:
sin 0° = 0,000 cos 0° = 1,000
sin 30° = 0,500 cos 30° = 0,866
sin 45° = 0,707 cos 45° = 0,707
sin 60° = 0,866 cos 60° = 0,500
sin 90° = 1,000 cos 90° = 0,000