Надра білих карликів – вироджена речовина

Белые карлики, как и все звезды, существу­ют благодаря равенству сил тяготения (гравитации), стремящихся сжать звезду, и сил давления вещества, сопротивляющихся этому сжатию. Равенство этих сил осуществляется и во внешних и в самых глубоких слоях звезды. О внешних слоях белых карликов (т. е. об ат­мосферах) мы говорили выше. Вещество в этих слоях представляет собой горячий (с температурой до 100 тыс. К) частично ионизованный газ («плазму») с плотностью порядка плотности воздуха на уровне моря (или даже ниже). Свойства такой плазмы достаточно хорошо известны. А вот внутри белых карликов плот­ности могут доходить до величины 10⁷ г/см³ и выше — такие плотности пока недостижимы на Земле.

Каковы свойства вещества при таких плотностях? Как устроены недра белых карликов?

Мы уже говорили, что ускорения силы тяжести на поверхностях белых карликов очень высоки. Оценим теперь давление, необходимое, чтобы при таких значе­ниях ускорения силы тяжести удержать звезду в рав­новесии от сжатия гравитацией.

Сделать это довольно просто. По закону тяготения Ньютона любые две полусферы звезды общей массой М притягиваются друг к другу с силой порядка GM²/R² (G = 6,67-10^-7 см³/г-с² — постоянная тяготения). Эта сила распределяется на площадь их сечения — порядка R². Поскольку давление равняется силе, деленной на площадь, получаем, что звезда будет в равновесии, ес­ли этой силе противостоит давление Р~GM²/R⁴. Таким образом, давление растет как R~⁴ и должно быть в 10⁷ (т. е. в 10 миллионов!) раз выше, чем внутри Солнца, где оно составляет 10⁵ Мбар.

Чем же поддерживается это чудовищное давление? Простое тепловое движение, обусловливающее давле­ние идеального газа P = nkT в обычных звездах, явно не подходит: оно приводит к противоречию с соотношени­ем масса — светимость Эддингтона. Да и температуры тут требуются в сотни раз выше, чем в обычных звез­дах, т. е. миллиарды градусов. Этот вопрос возник пос­ле уже упомянутой работы Эддингтона 1924 г. Однако вскоре загадка звездных недр прояснилась, и это ста­ло возможным после того, как нам стала более понят­на структура атома.

В 1925 г. немецкий физик В. Паули вывел следую­щий принцип — на одной «орбите» вокруг ядра атома (как говорят, в одном квантовом состоянии) может на­ходиться не более одного электрона. Если какое-то со­стояние занято одним электроном, то другой может попасть только на свободную орбиту. Когда атом ничем не возбуждается, все электроны стремятся занять со­стояние с возможно более низкой энергией (санки ска­тываются с горы, но сами в гору не лезут). Но принцип Паули не дает им всем свалиться на самую «близкую» к ядру орбиту, а заставляет их двигаться по менее низ­ким. Это и обеспечивает разнообразие химических свой­ств атомов и спектров их излучения.

Огромное значение принципа Паули тут же осознал выдающийся итальянский физик Э. Ферми. Он, в част­ности, предположил, что принципу Паули должны под­чиняться все частицы и в любой системе, например в газе, а не только в атоме. Впоследствии оказалось, что это не совсем так — есть частицы и не подчиняющиеся принципу Паули, но во всяком случае предположение Ферми оказалось верным для электронов, для входя­щих в состав ядра атома протонов и нейтронов, а так­же для многих других частиц, которые теперь называ­ют фермионами.

Ферми рассмотрел свойства «идеального» газа фер­мионов и установил, что давление в нем обеспечивает­ся быстрыми частицами, которые даже при абсолютном нуле температуры обладают огромными скоростями, так как принцип Паули не дает им возможности «успо­коиться» — все нижние состояния энергии в таком га­зе уже заняты. Конечно, этот газ является «идеальным» только в том смысле, что в нем энергией взаимодейст­вия частиц между собой можно пренебречь по сравне­нию с их кинетической энергией, но свойства такого га­за резко отличаются от свойств обычного идеального газа. Такой газ называют «вырожденным идеальным га­зом». Чтобы не было путаницы, мы будем называть этот газ просто вырожденным.

В 1926 г. английский физик Р. Фаулер применил теорию Ферми к белым карликам и установил, что гро­мадные давления в их недрах могут объясняться давле­нием вырожденного газа электронов. Это было первое успешное применение теории Ферми. Только позднее она нашла себе многочисленные приложения в «земной» физике.

Рассмотрим теперь более подробно основные свой­ства вырожденного газа. Давление вырожденного га­за — это эффект чисто квантовый. В то же время давление равно силе, действующей на площадку единично­го размера. Но по второму закону Ньютона сила — это изменение импульса за одну секунду (импульсом р на­зывают произведение массы т на скорость v: p=mv). В газе с концентрацией частиц п, летящих со средней скоростью v, через единичную площадку за 1 с проле­тает примерно пv частиц. Если средний импульс частиц равен р, то они создадут давление P=pnv. Посмотрим теперь, как средний импульс р связан с концентрацией частиц п.

По предположению Де Бройля любая частица с им­пульсом р во многих отношениях ведет себя как волна длиной лямбда = h/p, где h = 6,6-10^-27 эрг-с — фундаменталь­ная постоянная Планка. Волновые свойства фермионов проявляются, в частности, в том, что два фермиона, имеющие точно одинаковый импульс, имеют и точно одинаковую длину волны, а такие волны должны «га­сить» друг друга. Это, собственно, и определяет прин­цип Паули — два фермиона не могут двигаться по од­ной «орбите»: если они слишком сильно сблизятся, то их импульсы должны различаться.

В частности, если концентрация фермионов равна n, то длина волны лямбда должна быть в среднем меньше среднего расстояния между такими частицами: лямбда<п^-1/3 Отсюда средний импульс этих частиц >hn^1/3, т. е, им­пульс фермионов должен расти с увеличением концент­рации частиц. Используя выражение для давления Р =pnv = p²n/m, получим: P>h²n^5/3/m. Знак равенства в этом выражении соответствует случаю, когда фермионы полностью «упакованы» (расстояния между ними минимально допустимые). Если нагревать такой газ, то импульсы частиц и давление смогут только увеличи­ваться. Значит, состояние с наименьшим давлением со­ответствует абсолютному нулю температуры (7=0 К).

Итак, мы нашли, что даже абсолютно холодному га­зу фермионов соответствует некоторая величина давле­ния: Р_ф=h²n^5/3/m, которую часто называют давлением Ферми, а газ с таким давлением при абсолютном нуле температуры — абсолютно вырожденным.

В общем случае, когда температура газа Т не равна нулю, давление Ферми можно сравнить с тепловым дав­лением классического идеального газа P = nkT. Сравни­вая оба выражения для давлений, видим, что при кон­центрации п^2/3>kTm/h² давление Ферми больше теплового. В этом случае и говорят, что наступает вырожде­ние, т. е. состояние, когда из-за сближения частиц они вынуждены иметь высокие скорости независимо от тем­пературы. Вырождение может иметь место или при очень высоких концентрациях (т. е. плотностях) газа, или при очень низких температурах. Из данного усло­вия вырождения видно, что последнее наступает рань­ше для газа с легкими частицами (с малыми т).

Температуры в недрах наблюдаемых белых карли­ков составляют миллионы градусов. При таких темпе­ратурах вещество полностью ионизовано (все электро­ны свободны) и представляет собой горячую плотную плазму. Необходимо подчеркнуть, что при g>10⁶ г/см³ электроны будут свободными даже при Т=0 К: атомы при этом так тесно сблизятся, что все электроны «обоб­ществятся» — произойдет так называемая ионизация давлением (в этом случае плазма остается абсолютно холодной!).

Итак, внутри горячего белого карлика должна быть смесь двух газов — электронного и ионного. Их темпе­ратуры равны, но масса электронов в тысячи раз мень­ше массы ионов. Поэтому давление Ферми электронов во столько же раз выше соответствующего давления ионов, и при плотностях белых карликов вырождение электронов должно наступить при температурах в де­сятки миллионов градусов.

Чтобы убедиться в этом, выразим давление через плотность. Концентрация электронов п связана с плот­ностью g довольно просто. Вещество белых карликов в целом электронейтрально, поэтому я равно концентра­ции протонов, определяющих заряд ядра; причем элек­троны никакого вклада в плотность практически не да­ют (они почти в 2000 раз легче протонов и нейтронов). Рассмотрим теперь вклад в плотность нейтральных ча­стиц — нейтронов. В водородной плазме их нет, а кон­центрация протонов просто равна плотности, деленной на массу протона (m_р= 1,7-10^{-24 г):} n=g/m_p. В ядрах гелия ⁴Не и углерода ¹²С протонов столько же, сколько нейтронов — поэтому протоны дают только половину вклада в плотность таких газов: n=g/2m_р. Последнее соотношение приближенно верно и для других тяжелых ядер, хотя относительное число нейтронов постепенно увеличивается (например, ⁵⁶Fe содержит 26 протонов и 30 нейтронов). Таким образом, получаем, что в водородной плазме концентрация электронов (а, значит, й давление) выше, чем в других веществах при той же плотности.

Выразив концентрацию электронов через плотность и подставив все численные значения, получим давление вырожденного электронного газа P_ф = 3g^5/3 Мбар (коэф­фициент в этом выражении может слегка меняться из-за изменения отношения числа протонов к числу нейт­ронов в ядре, а для водородной плазмы он больше в три с лишним раза).

Условие вырождения теперь запишется следующим образом: g>10^-8 T^3/2г/см³ (оно справедливо для боль­шинства ядер; для водорода — в два раза слабее). Из него видно, что при плотностях g=10⁵ г/см ³ давление вырожденных электронов больше теплового при всех температурах вплоть до 0,5 млрд. К. Значит, вплоть до таких огромных температур давление определяется практически только плотностью, а температура дает лишь незначительный эффект. Таким образом, давле­ние при данной плотности будет почти одинаковым и в веществе, нагретом, например, до 100 млн. К, и в абсо­лютно холодном.

Подчеркнем еще раз, что белый карлик держится в равновесии на самых легких частицах — электронах (и именно благодаря их малой массе). Давление ядер (ионов) чисто тепловое, оно гораздо ниже давления Ферми электронов. Вообще говоря, трудно представить себе, как тяжелые ядра в таком плотном веществе удер­живаются от взаимного гравитационного притяжения. И хотя электроны действительно имеют очень высокие скорости из-за принципа Паули (т. е. высокие импуль­сы), но как раз по этому принципу электрон не может отдать при столкновении свой импульс ядру, находясь в вырожденном состоянии (ведь все движения с малым импульсом для него запрещены).

Дело в том, что электроны, как и ядра (ионы), яв­ляются заряженными частицами. Обладая огромной скоростью, электроны стремятся разлететься, но ионы-ядра не пускают их своим электрическим притяжением. С другой стороны, по третьему закону Ньютона (дей­ствие равно противодействию) ионы сами испытывают со стороны электронов электростатическую силу, нап­равленную наружу, которая и удерживает их в равновесии, подавляя их взаимное гравитационное притяжение, направленное внутрь звезды. В конечном итоге все выглядит так, как будто давление Ферми электронного газа действует на вещество в целом (поэтому электри­ческими силами можно пренебречь).

Подведем теперь итог. Температуры в недрах белых карликов значительно ниже температуры вырождения, поэтому давлением Ферми можно объяснить их равно­весную структуру — таков был вывод Фаулера. Его вы­вод можно было проверить с помощью наблюдений, так как теория Фаулера имела еще одно следствие — ра­диус белого карлика при заданном химическом составе плазмы в его недрах однозначно определяется его мас­сой.

Рассмотрим, откуда получается этот результат. В на­чале этого раздела мы вывели зависимость давления внутри звезды от массы и радиуса: P~GM²/R⁴. В бе­лом карлике давление однозначно связано с плотно­стью, а плотность тоже зависит только от массы и ра­диуса звезды: g~M/R³. Поскольку давление пропор­ционально плотности в степени 5/3, получаем Р~М^5/3R⁵. Сравнивая оба выражения для давления, мы видим, что между массой и радиусом действительно имеется однозначная связь: при данной массе звезда «выбирает» такой радиус, при котором оба соотноше­ния для давления дают одно и то же значение (рис. 5). Заметим, что зависимость от радиуса в этих соотноше­ниях разная (именно это обстоятельство и позволяет двум кривым на рис. 5 пересечься).

Зависимость среднего давления от радиуса для звезды фиксированной массы

Итак, опять, опуская все коэффициенты, имеем; M^5/3/R⁵~M²/R⁴, откуда получается зависимость R~M^-1/3 — чем больше масса белого карлика, тем мень­ше его радиус (это и есть соотношение Фаулера). Ко­нечно, сам Фаулер получил его с учетом всех числен­ных коэффициентов (которые мы опустили).

Напомним, что наибольшие отличия в уравнении со­стояния, а значит, и в соотношении масса — радиус должны быть для водорода. При одинаковой массе бе­лый карлик, состоящий из водорода, должен иметь ра­диус в три с лишним раза больше, чем белый карлик из гелия или углерода и т. п., так как при одинаковой плотности давление водородной плазмы выше.

Простое соотношение Фаулера казалось очень прив­лекательным. Однако уже в 1928—1930 гг. ряд физи­ков пришел к выводу, что поведение вырожденного дав­ления при больших плотностях сложнее, чем по простой теории Фаулера. Первым это понял советский ученый Я. И. Френкель.

При выводе закона давления вырожденного газа мы пользовались скоростью электронов v=p/m (p — им­пульс, т — масса). Но эту формулу можно применять, только пока v много меньше, чем скорость света с, рав­ная 300 тыс. км/с (т. е., как говорят, при нерелятивист­ских скоростях), потому что согласно специальной тео­рии относительности никакая частица не может дви­гаться быстрее света. Однако уже при плотностях g ~10⁶ г/см³, которые вполне типичны для центральных областей белых карликов, из выражения для импульса p = hn^1/3 получаем р~тс (т. е. скорость v приблизи­тельно равна скорости света с).

В этом (релятивистском) случае надо везде вместо v употреблять с. Поэтому давление Ферми равно р_ф = pnv = pnc = hcn^4/3, т. е. получилась другая степень: не 5/3, а 4/3. Через плотность g[г/см³] эта зависимость выра­жается следующим образом: P = 500 g^4/3 Мбар. Соотно­шение Р~g^5/3 пможно применять лишь при плотностях, существенно меньших 10⁶ г/см³, а выражение P~g^4/3 — при g заметно больших 10⁶ г/см³. При промежуточных значениях плотности для точных расчетов применяют го­раздо более сложную формулу, но мы не будем здесь ее приводить, так как и эти две простые зависимости давления от плотности почти плавно «сшиваются» при g~2-10⁶ г/см³.

Из-за изменения связи давления с плотностью изменяется и вид зависимости масса — радиус, полученный Фаулером. Для белых карликов с массой до 0,5 Mc плотности во всем объеме еще не слишком высоки, и соотношение Фаулера прекрасно выполняется. Но при массе 0,5 Мс в центре уже достигается плотность 2•10⁶ г/см³, т. е. скорости электронов приближаются там к скорости света с и дальше расти не могут. Поэтому при дальнейшем повышении массы (а значит, и плотно­сти) давление не может расти так же быстро, как рань­ше — вступает в силу закон P~g^4/3. Но раз давление теперь меньше, чем при законе P~g^5/3, оно слабее соп­ротивляется сжатию звезды силами тяготения. Таким образом, при данной массе звезда сожмется до меньше­го радиуса, чем получалось из закона Фаулера R~М^-1/3. Тем самым при добавлении такого же. относи­тельного количества массы плотность повысится силь­нее, чем раньше. Следовательно, закон P~g^4/3 охватит еще большую долю массы звезды, и она будет еще сла­бее сопротивляться гравитационному сжатию.

Если раньше давление вело себя как R^-5 и могло всегда «догнать» значение GM²/R⁴, необходимое для равновесия (см. рис. 5) при достаточном сжатии, то те­перь оно все ближе подходит к закону P~g^4/3~ (M/R³)^4/3=M^4/3/R⁴. Наконец, масса достигает такой величины, что соотношение Р~M^4/3/R⁴ будет выполнять­ся практически точно. Тогда при дальнейшем сжатии звезды давление плазмы никак не сможет противо­стоять силам гравитации: ведь оно теперь меняется как R^-4, а равновесие требует, чтобы давление менялось быстрее R^-4. Значит, при достижении этой массы звез­да будет неумолимо подвержена гравитационному сжа­тию (коллапсу).

Это следует и из расчета структуры белых карликов с точным уравнением состояния. Кривая масса — ради­ус, полученная из этих расчетов, приведена на рис. б. И мы видим, что, хотя по теории Фаулера равновесие было возможно для любой массы, точные расчеты ука­зывают на наличие предельной массы, при которой ра­диус «обращается в нуль». Значение этой массы равно приблизительно 1,4 Мс (для водородных белых карли­ков 5,7 Мс). Наиболее полные расчеты этой кривой, по­казанной на рис. 6, провел американский астрофизик С. Чандрасекхар. В 1935 г. он получил значение предельной массы белых карликов, которое часто называ­ют «чандрасекхаровским пределом».

Зависимость масса – радиус по теории Фаулера

Итак, теория привела к удивительному выводу — при массе больше предельной равновесие вырожденной звезды невозможно! Этот вывод был настолько неожи­данным, что многие астрономы долго отказывались его признать. Эддингтон, например, решил, что такой вы­вод служит доказательством («от противного») ошибоч­ности исходных положений теории. Ведь обычные звез­ды могут иметь массу, в десятки раз превышающую этот предел. Казалось неизбежным, что они в конце концов остынут и достигнут вырожденного состояния. Что же ждет эти звезды, если их равновесие невозмож­но? Поэтому Эддингтон склонялся к теории Фаулера, не дающей ограничения на массу звезды, но данные наблюдений были тогда слишком скудны и ненадежны, чтобы решить, какая теория ближе к действительно­сти.

Таким образом, белые карлики поставили перед учеными целый ряд проблем. Верно ли мы понимаем их природу? Как они связаны с «жизнью» других звезд? Как они сами «живут»?

Ответить на эти вопросы могла только совместная работа и теоретиков, и наблюдателей. Наиболее ценную информацию здесь принесли и продолжают прино­сить спектры белых карликов. В частности, они помо­гают проверить соотношение масса — радиус, причем двумя различными способами.

• ← Про що розповідають спектри білих карликів?
• Перевірка співвідношення маса-радіус →